导读

        折纸机构因具有可折展、可重构等一系列特性，在航空航天、超材料、机器人、医疗器械等工程领域展现出广阔的应用前景。然而，现有的刚性折纸机构大多为多环路过约束机构，受制造误差和材料变形等因素影响，折痕之间的几何关系难以精确满足，导致机构运动不畅甚至卡滞，可靠性显著降低。如何在保留原有单自由度折展运动的前提下最大程度地减少过约束，已成为折纸机构设计中亟待解决的问题。

        为解决这一问题，天津大学机械工程学院陈焱教授团队提出了一种单自由度折纸机构的最少过约束剪痕排布设计算法，建立了结合剪痕拓扑与运动学分析的综合求解方法。将该方法应用于零厚度和厚板形式的Miura-ori与四、六折痕混合折纸，分别获得了多种单自由度且无奇异构型的最少过约束剪痕排布方案。该成果于2026年9月2日在线发表于Thin-Walled Structures期刊，论文通讯作者为天津大学张霄副教授，第一作者为天津大学博士生张悦豪。该研究由国家重点研发计划和国家自然科学基金资助完成。

        以图1中由4个四折痕顶点组成的折纸图案为例，研究团队首先分析了剪痕的拓扑排布应满足的条件。如图2所示，通过研究不同拓扑子图对应的折纸图案特征，排除了会导致折纸图案不连通、存在局部自由度、多自由度、以及缺少部分面板的不连通、低阶连通、2-边连通和非生成等类型的拓扑子图，并推导出剪痕排布的拓扑约束应为2-点连通生成子图。

图1 由4个四折痕顶点组成的折纸图案及其拓扑图。

图2 不同类型的拓扑子图及其对应的折纸图案。

        为了判断各个2-点连通生成子图对应的折纸图案是否保持原折纸图案的单自由度特性，研究团队提出了一种基于环-边关系的剪痕排布表示方法，如图3所示。该方法利用环-边关联矩阵预先构建出将每条折痕单独剪开后剩余环路的集合，并通过集合的交集运算及矩阵的线性运算求解基本环路矩阵，从而建立剪痕排布与雅可比矩阵之间的对应关系，实现了自由度的快速计算。

图3 基于环-边关系的剪痕排布表示方法示意图。

        综合以上拓扑分析与运动学求解方法，研究团队提出了单自由度折纸机构的最少过约束剪痕排布算法（图4）。对于输入的折纸图案，首先计算在最少过约束条件下应布置的剪痕数量N，然后分层枚举对应k（k=1, 2, …, N）条剪痕的所有2-点连通生成子图，并利用对称群去除重复结果。在算法中，从第三层开始，每一层均在前一层的基础上添加第一层获得的有效剪痕集合中的剪痕，并利用第二层的有效剪痕组合判断添加结果是否可行，这一优化策略极大地降低了搜索空间，实现了高效搜索。

图4 算法伪代码。

        研究人员将该算法应用于零厚度和厚板形式的Miura-ori，获得了多种保持原折纸图案Cs对称性（镜像对称）且具有最少过约束的单自由度剪痕排布方案，并通过奇异值分析排除了运动过程中存在奇异构型的结果。零厚度Miura-ori的单自由度无奇异最少过约束剪痕排布方案如图5a所示，通过添加10条剪痕，这些折纸图案的过约束数从53降至3。图5b展示了图5a中Case 1的实物模型。厚板Miura-ori的单自由度无奇异最少过约束剪痕排布方案如图6a所示，其中Case 1和Case 2的剪痕数为7，Case 3和Case 4的剪痕数为6，过约束数分别从53降至18和23。图6b展示了图6a中Case 1的实物模型。此外，研究人员还将该算法应用于零厚度和厚板形式的四、六折痕混合折纸图案，显著降低了其中的过约束数。

图5 零厚度4×6 Miura-ori图案的单自由度无奇异剪痕排布方案。

图6 厚板4×6 Miura-ori图案的单自由度无奇异剪痕排布方案。

        综上所述，本研究针对折纸机构的最少过约束剪痕排布问题，提出了一种结合剪痕拓扑与运动学分析的综合求解算法。该算法成功应用于零厚度与厚板形式的Miura-ori以及四、六折痕混合折纸，获得了多种单自由度无奇异的剪痕排布方案。除论文中的示例外，研究成果还适用于其他二维和三维机构，为降低折纸机构中的过约束提供了一种通用的剪痕排布设计方法，同时也为折纸机构在航空航天可展开结构和超材料等领域的工程应用提供了技术支撑。

Yuehao Zhang, Sicheng Jing, Xiao Zhang, An Algorithm of Slit Arrangement for Minimizing Overconstraints in One-DOF Origami Mechanisms, Thin-Walled Structures. 231 (2026) 115587.
(https://doi.org/10.1016/j.tws.2026.115587)